The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^2, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
__, isList, activate, isNeList, isPal, isNePal

They will be analysed ascendingly in the following order:
__ < activate
activate < isList
isList = isNeList
activate < isNeList
activate < isPal
activate < isNePal
isPal = isNePal

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
__, isList, activate, isNeList, isPal, isNePal

They will be analysed ascendingly in the following order:
__ < activate
activate < isList
isList = isNeList
activate < isNeList
activate < isPal
activate < isNePal
isPal = isNePal

(7) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol __.

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isList, isNeList, isPal, isNePal

They will be analysed ascendingly in the following order:
activate < isList
isList = isNeList
activate < isNeList
activate < isPal
activate < isNePal
isPal = isNePal

(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0)) → gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)

Induction Base:
activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0)) →_R^Ω(1)
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0)

Induction Step:
activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(n28_0, 1))) →_R^Ω(1)
__(activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0)), activate(n__nil)) →_IH
__(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(c29_0), activate(n__nil)) →_R^Ω(1)
__(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0), n__nil) →_R^Ω(1)
n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0), n__nil)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(10) Complex Obligation (BEST)

(11) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Lemmas:
activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0)) → gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
isNePal, isList, isNeList, isPal

They will be analysed ascendingly in the following order:
isList = isNeList
isPal = isNePal

(12) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNePal.

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Lemmas:
activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0)) → gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
isPal, isList, isNeList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isList = isNeList
isPal = isNePal

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isPal.

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Lemmas:
activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0)) → gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
isNeList, isList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isList = isNeList

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNeList.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Lemmas:
activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0)) → gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
isList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isList = isNeList

(18) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n19200_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n19200₀ + n19200₀²)

Induction Base:
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0)) →_R^Ω(1)
tt

Induction Step:
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(n19200_0, 1))) →_R^Ω(1)
U21(isList(activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n19200_0))), activate(n__nil)) →_L^{Ω(1 + n19200₀)}
U21(isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n19200_0)), activate(n__nil)) →_IH
U21(tt, activate(n__nil)) →_L^Ω(1)
U21(tt, gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0)) →_R^Ω(1)
U22(isList(activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0)))) →_L^Ω(1)
U22(isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0))) →_R^Ω(1)
U22(tt) →_R^Ω(1)
tt

We have rt ∈ Ω(n²) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n²).

(19) Complex Obligation (BEST)

(20) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Lemmas:
activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0)) → gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n19200_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n19200₀ + n19200₀²)

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

The following defined symbols remain to be analysed:
isNeList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isList = isNeList

(21) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNeList.

(22) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Lemmas:
activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0)) → gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n19200_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n19200₀ + n19200₀²)

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

No more defined symbols left to analyse.

(23) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n19200_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n19200₀ + n19200₀²)

(24) BOUNDS(n^2, INF)

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Lemmas:
activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0)) → gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n19200_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n19200₀ + n19200₀²)

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

No more defined symbols left to analyse.

(26) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n²) was proven with the following lemma:
isList(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n19200_0)) → tt, rt ∈ Ω(1 + n19200₀ + n19200₀²)

(27) BOUNDS(n^2, INF)

(28) Obligation:

TRS:
Rules:
__(__(X, Y), Z) → __(X, __(Y, Z))
__(X, nil) → X
__(nil, X) → X
U11(tt) → tt
U21(tt, V2) → U22(isList(activate(V2)))
U22(tt) → tt
U31(tt) → tt
U41(tt, V2) → U42(isNeList(activate(V2)))
U42(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isList(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt, P) → U72(isPal(activate(P)))
U72(tt) → tt
U81(tt) → tt
isList(V) → U11(isNeList(activate(V)))
isList(n__nil) → tt
isList(n____(V1, V2)) → U21(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(V) → U31(isQid(activate(V)))
isNeList(n____(V1, V2)) → U41(isList(activate(V1)), activate(V2))
isNeList(n____(V1, V2)) → U51(isNeList(activate(V1)), activate(V2))
isNePal(V) → U61(isQid(activate(V)))
isNePal(n____(I, n____(P, I))) → U71(isQid(activate(I)), activate(P))
isPal(V) → U81(isNePal(activate(V)))
isPal(n__nil) → tt
isQid(n__a) → tt
isQid(n__e) → tt
isQid(n__i) → tt
isQid(n__o) → tt
isQid(n__u) → tt
nil → n__nil
__(X1, X2) → n____(X1, X2)
a → n__a
e → n__e
i → n__i
o → n__o
u → n__u
activate(n__nil) → nil
activate(n____(X1, X2)) → __(activate(X1), activate(X2))
activate(n__a) → a
activate(n__e) → e
activate(n__i) → i
activate(n__o) → o
activate(n__u) → u
activate(X) → X

Types:
__ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U11 :: tt → tt
tt :: tt
U21 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U22 :: tt → tt
isList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
activate :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
U31 :: tt → tt
U41 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U42 :: tt → tt
isNeList :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U51 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U72 :: tt → tt
isPal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
U81 :: tt → tt
n__nil :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n____ :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
isQid :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
isNePal :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u → tt
n__a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
n__u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
a :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
e :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
i :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
o :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
u :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u1_0 :: n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u
hole_tt2_0 :: tt
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0 :: Nat → n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u

Lemmas:
activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0)) → gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)

Generator Equations:
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(0) ⇔ n__nil
gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(+(x, 1)) ⇔ n____(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(x), n__nil)

No more defined symbols left to analyse.

(29) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0)) → gen_n__nil:n____:n__a:n__e:n__i:n__o:n__u3_0(n28_0), rt ∈ Ω(1 + n28₀)

(30) BOUNDS(n^1, INF)